五边形数为1、5、12、22、35等</p>
六边形数为1、6、15、28、45等</p>
梅森说：“你这样要做什么？”</p>
费马说：“每一个正整数都可以表示为最多n个n边形数的和。每一个正整数一定可以表示为不超过三个的三角形数之和、不超过四个的平方数之和、不超过五个的五边形数之和，依此类推。”</p>
梅森说：“原来你还在研究平方数和的一些规律呀！”</p>
费马说：“没错。”</p>
梅森说：“你打个比方，我听听。”</p>
费马说：“两个个三角形数的例子，例如17=10+6+1，4=1+3。一个众所周知的特例，是四平方和定理，它说明每一个正整数都可以表示为最多四个平方数之和，例如7=4+1+1+1。”</p>
梅森说：“你证明了吗？”</p>
费马说：“证明的事情恐怕要交给后人了。”</p>
拉格朗日在1770年证明了平方数的情况，高斯在1796年证明了三角形数的情况，但直到1813年，柯西才证明了一般的情况。</p>